Struktur Teori dasar Antrian

 struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian :

1. Single Channel – Single Phase ( Satu saluran satu tahap)

      Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki system pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu pelayanan. Single Phase menunjukan bahwa hanya ada satu stasiun pelayan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan. Tetapi di satu saluran satu tahap model antrian yang sangat sederhana dimana terdapat satu sisi masuk dan satu sisi keluar. Contoh : untuk model struktur ini adalah seorang tukang cukur, Pembelian tiket kereta api antar kota kecil yang dilayani oleh satu loket, Pembelian ticket pada salah satu loket penjualaan ticket theater, Antrian kirim Surat dikantor pos.

Rumus dari Single Channel Single Phase (Satu Saluran Satu Tahap) : 

Contoh SOAL :

        2. Multi Channel Single Phase ( Banyak Saluran Satu Tahap )

Sistem multi channel-single phase terjadi saat dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Istilah Multi Phase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan (dalam phasephase).Sebagai contoh model ini adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket, pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang potong, Pencucian Mobil dan dll..

Asumsi-asumsi dalam Multi Channel Single Phase (infinite) : 

1. Jumlah antrian tidak dibatasi
2. Kedatangan mengikuti distribusi poisson
3. Waktu pelayanan mengikuti distribusi exponential negative
4. First come, first served
5. Saluran dikalikan dengan tingkat pelayanan > dari tingkat kedatangan

Ciri ciri Distribusi Poisson : 

1. Tingkat kedatangan rata-rata dapat diduga berdasarkan data masa lalu.
2. Tingkat kedatangan rata-rata persatuan waktu adalah konstan.
3. Banyaknya kedatangan dalam suatu selang waktu tidak dipengaruhi apa yang terjadi pada selang waktu sebelumnya.
4. Probabilitas suatu kedatangan dalam selang waktu yang sangat pendek adalah sangat kecil sehingga probabilitas > dari satu kedatangan dalam selang waktu yang pendek akan mendekati 0 (nol)

Rumusnya Multi Channel Single Phase : 

Contoh Soal Multi Channel Single Phase : 

Seorang pemilik toko buku di Kwitang Senen ingin mengetahui dan menganalisis pelayanan kasirnya. Ia menyewa seorang konsultan untuk menganalisis antrian di kasir toko buku. Diketahui toko buku tersebut mempunyai 3 kasir untuk melayani pembeli. Diketahui waktu rata-rata untuk melayani seorang pembeli 5 menit/orang mengikuti aturan distribusi eksponential negative. Tingkat kedatangannya 21 orang per jam mengikuti distribusi poisson. Konsultan tersebut diminta untu memecahkan persoalan ini: 

1. Rasio Pelayanan (R) 
2. Proporsi waktu menganggur CSO 
3. Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian. 
4. Rata-rata banyaknya pengantri dalam system. 
5. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian. 
6. Rata-rata waktu mengunggu dalam system. 
7. Probabilitas adanya orang ke-5. h.
8. Probabilitas adanya 5 orang. i.
9. Analisis dari penelitian konsultan tersebut.

Sumber:

1. https://sites.google.com/site/operasiproduksi/teori-antrian

Metode Simpleks dan Pengaplikasinnya dalam kehidupan sehari-hari

Metode Simpleks dan Pengaplikasinnya dalam kehidupan sehari-hari

Metode  simpleks  merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam program linier yang digunakan  sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan  pengalokasian sumberdaya secara optimal. Metode simpleks digunakan untuk mencari nilai optimal  dari program linier yang melibatkan banyak constraint (pembatas) dan banyak variabel (lebih dari dua variabel). Penemuan metode ini merupakan lompatan besar dalam riset operasi dan digunakan  sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program computer.

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks.  Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi 

Ø Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya yaitu

1.       Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2.       Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas  dalam sistem persamaan. 

3.       Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan  pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama  dengan  jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

4.       Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas  awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5.       Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan  pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

6.   Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan  dari model matematik kendala untuk mengkonversikan  pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

7.   Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi.Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas

8.    Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

9.    Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.

10.  Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11.  Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis  pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12.  Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

BENTUK BAKU

Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah.

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat  bentuk baku, yaitu :

1.     Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.

2.     Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.

3.     Fungsi kendala dengan persamaan dalam benttuk umum,ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan).

   

Langkah-langkah menyelesaikan metode simpleks secara manual adalah sebagai berikut :

1.   Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan.

2.   Tentukan kolom kunci. Penentuan kolom kunci dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan berupa maksimisasi, maka kolom kunci adalah kolom dengan koefisien negatif terbesar. Jika tujuan minimisasi, maka kolom kunci adalah kolom dengan koefisien positif terbesar. Perhatikan, kita tidak menggunakan kata-kata nilai terkecil dan terbesar, karena kita memang tidak memilih nilai terkecil dan terbesar. Jika kolom kunci ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai negatif terbesar (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.

3.    Tentukan baris kunci. Baris kunci ditentukan setelah membagi nilai kanan dengan nilai kolom kunci yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom kunci tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris kunci adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Perhatikan, rasio pembagian tidak mungkin bernilai negatif, karena nilai kanan tidak negatif demikian juga dengan nilai kolom kunci. Jika baris kunci ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.

4.   Tentukan angka kunci. Angka kunci merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris kunci.

5.   Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris kunci baru. Baris kunci baru adalah baris kunci lama dibagi dengan angka kunci. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom kunci baris yang bersangkutan dikali baris kunci baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak dalam satu kolom juga.

Contoh Soal :

1. Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks :

Maksimum z = 8 x₁ + 9 x₂ + 4x₃

Kendala :

x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 2

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ ≤ 3

7x₁ + 6x₂ + 2x₃ ≤ 8

x₁,x₂,x₃ ≥ 0

Penyelesaian :

Bentuk bakunya adalah :

Maksimum z = 8 x₁ + 9 x₂ + 4x₃ + 0s₁ + 0s₂ + 0s₃ atau

                     z - 8 x₁ - 9 x₂ - 4x₃ + 0s₁ + 0s₂ + 0s₃ = 0

Kendala :

x₁ + x₂ + 2x₃ + s₁  = 2

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + s₂ = 3

7x₁ + 6x₂ + 2x₃  + s₃ = 8

x₁,x₂,x₃ ,s₁ , s₂ , s₃ ≥ 0

Solusi / table awal simpleks :

VB	X1	X2	X3	S1	S2	S3	NK	Rasio
Z	-8	-9	-4	0	0	0	0
S1	1	1	2	1	0	0	2
S2	2	3	4	0	1	0	3
S3	7	6	2	0	0	1	8

Karena nilai negative terbesar  ada pada kolom X₂, maka kolom X₂ adalah kolom pivot dan X₂ adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai kanan  dengan kolom pivot terkecil adalah 1 bersesuaian  dengan  baris s₂, maka baris s₂ adalah baris pivot dan s₂ adalah varisbel keluar. Elemen pivot adalah 3.

VB	X1	X2	X3	S1	S2	S3	NK	Rasio
Z	-8	-9	-4	0	0	0	0
S1	1	1	2	1	0	0	2	2
S2	2	3	4	0	1	0	3	1
S3	7	6	2	0	0	1	8	8/6

Iterasi 1

Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris  pivot baru (baris x₂). Semua nilai pada baris s₂ pada tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).

VB	X1	X2	X3	S1	S2	S3	NK	Rasio
Z
S1
x2	2/3	1	4/3	0	1/3	0	1
S3

Perhitungan nilai barisnya :

Baris z :

             -8         -9         -4         0          0          0          0

    -9 (  2/3          1         4/3       0          1/3        0          1 )   -

            -2           0          8         0           3         0         9

Baris s₁ :

             1          1          2          1          0          0          2

     1   (2/3        1          4/3       0          1/3       0          1 ) -

            1/3       0          2/3       1          -1/3      0          1

Baris s3 :

             7          6          2          0          0          1          8

     6  ( 2/3        1          4/3        0          1/3       0          1 ) -

            3          0          -6         0          -2         1          2

Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya kita periksa apakah tabel sudah optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x₁ masih negatif, maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel di bawah ini :

VB	X1	X2	X3	S1	S2	S3	NK	Rasio
Z	-2	0	8	0	3	0	9	-
S1	1/3	0	2/3	1	-1/3	0	1	3
X2	2/3	1	4/3	0	1/3	0	1	3/2
S3	3	0	-6	0	-2	1	2	2/3

Variabel masuk  dengan demikian adalah X₁ dan variabel  keluar adalah S₃ .Hasil perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut :

Iterasi 2 :

VB	X1	X2	X3	S1	S2	S3	NK	Rasio
Z	0	0	4	0	5/3	2/3	31/3
S1	0	0	4/3	1	-1/9	-1/9	7/9
X2	0	1	8/3	0	7/9	-2/9	5/9
X1	1	0	-2	0	-2/3	1/3	2/3

Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan !

Perhitungan dalam simpleks menuntut ketelitian  tinggi, khususnya jika angka yang digunakan adalah pecahan. Pembulatan harus diperhatikan dengan baik. Disarankan jangan menggunakan bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti jika menggunakan bilangan pecahan. Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih panjang atau bahkan tidak selesai karena ketidaktelitian dalam melakukan pembulatan.

Perhitungan iteratif dalam simpleks pada dasarnya merupakan pemeriksaan satu per satu titik-titik ekstrim layak pada daerah penyelesaian. Pemeriksaan dimulai dari kondisi nol (dimana semua aktivitas/variabel keputusan bernilai nol). Jika titik ekstrim berjumlah n, kemungkinan terburuknya kita akan melakukan perhitungan iteratif sebanyak n kali.

Contoh Soal :  

Maksimumkan Z = 40 X1 + 30 X2 + 50 X3

Dengan syarat :            6X1 + 4X2 +      X3  ≤ 32.000

                                     6X1 + 7X2 +    3X3  ≤ 16.000

                                     4X1 + 5X2 + 12 X3  ≤ 24.000

                                     X1        X2         X3   ≥ 0

Bentuk baku masalah LP itu adalah :

Z     -40X1 – 30X2 – 50X3 –  0S1 – 0S2 – 0S3  = 0

6X1 +  4X2 +      X3 +    S1  = 32.000

6X1 +  7X2 +    3X3 +    S2  = 16.000

4X1 +  5X2 +  12X3 +    S3  = 24.000

Solusi dengan menggunakan tabel simpleks yang lengkap ditunjukan pada tabel berikut.

                                                     Penyelesaian

Langkah pertama dalam menghitung Optimality condition adalah menentukan variabel nonbasis dengan koefisien negatif terbesar sebagai entering variable, kemudian menentukan leaving variabel atau variabel basis yang memiliki rasio terkecil yang akan menentukan pivot elemen dimana pivot elemen adalah perpotongan entering kolom dengan pivot equation. Pivot elemen ditunjukkan dengan tanda kurung.Tabel 3.6 Tabel Simpleks Awal. 

Perhitungan untuk Iterasi Pertama (1) tabel 3.8

Tabel 3.8 Tabel Iterasi Pertama

Pada Iterasi yang kedua telah tercapai solusi optimum dengan X1 = 2000, X3 = 440.000/3 dan Z = 146.666,67. Pada tabel optimum (Tabel 3.10) S2 dan S3 = 0, artinya pengambil keputusan akan menggunakan seluruh persediaan sumberdaya kedua dan ketiga

SUMBER :

1. http://awank38.blogspot.co.id/2015/01/metode-simpleks-dalam-program-linier.html

2. http://farishhantulaut.blogspot.co.id/2011/05/riset-operasi-aplikasi-dalam kehidupan.html